Hi,eine Aufgabe aus meinem Mathestudium:Betrachte ein in alle Richtungen unendliches Schachbrett. Ein Springer steht auf einem Feld dieses Schachbrettes und macht 7 Rösselsprünge.1) Bestimme die Anzahl aller Wege aus 7 Schritten in Abhängigkeit vom Zielpunkt.Hinweis: Es reicht ein geeignetes Polynom hinzuschreiben, wenn du die Anzahl der Wege an diesem Polynom ablesen kannst.2) Wieviele Wege gibt es insbesondere, die wieder beim Ausgangspunkt enden?3) Gib einen anschaulichen Grund für die Anzahl in Teilaufgabe (2).4) Warum ist die Anzahl aller Wege 8^7?Aufgabe 2-4 habe ich gelöst (wahrscheinlich sehr einfach für Schachspieler), für 1 fehlt mir noch ein Ansatz das Ganze vernünftig anzugeben.Viel Spaß! :)
Beitrag von ruf012
w:= Anzahl der Wegea1:= w zu einem Feld (Aufgabe 1)a4:= w von einem Feld (Aufgabe 4)Ist nicht a1=a4.
Beitrag von ToBeFree
Ich hab mir mit GIMP, [Hier befand sich ein Link auf die Seite "https://oeis.org/". Der Link wurde vom Benutzer mit dem Titel "OEIS" versehen. Aus urheberrechtlichen Gründen ist es möglicherweise erforderlich, diesen Hinweis beizubehalten, da manche Benutzer die Quelle ihrer Zitate von anderen Internetseiten so gekennzeichnet haben. Dieser Hinweis wurde automatisch an Stelle des früheren Links platziert. Falls der Link unangemessen oder ohnehin unerreichbar geworden ist, kann die im Impressum genannte Adresse mit einer Bitte um Entfernung kontaktiert werden.], [URL="http://www.wolframalpha.com/"]WolframAlpha[/URL] und Wikipedia an Aufgabe 1 die Zähne ausgebissen. Mein Versuch war, die Anzahl der erreichbaren Felder eines Springers von einem Punkt aus abhängig von der Zugzahl herauszufinden; durch Zählen kam ich auf die Zahlenfolge 1, 8, 33, 76, usw..Weiter wäre es mit Zählen wohl schwierig geworden, daher habe ich diese Zahlenfolge in der OEIS gesucht und wurde tatsächlich fündig (WolframAlpha hielt es für Zahlen aus dem Polynom [URL="http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2C+8%2C+33%2C+76%2C+129%2C+196%2C+277%2C+372%2C+481"]12-20n+9n^2[/URL], aber das scheint keinen Sinn zu ergeben und führt auch nicht zur OEIS-Zahlenfolge):[Hier befand sich ein Link auf die Seite "https://oeis.org/A118312". Der Link wurde vom Benutzer mit dem Titel "https://oeis.org/A118312" versehen. Aus urheberrechtlichen Gründen ist es möglicherweise erforderlich, diesen Hinweis beizubehalten, da manche Benutzer die Quelle ihrer Zitate von anderen Internetseiten so gekennzeichnet haben. Dieser Hinweis wurde automatisch an Stelle des früheren Links platziert. Falls der Link unangemessen oder ohnehin unerreichbar geworden ist, kann die im Impressum genannte Adresse mit einer Bitte um Entfernung kontaktiert werden.] ("Number of squares on infinite chessboard that a knight can reach in n moves from a fixed square.")Diese Zahlenfolge geht so weiter:1, 8, 33, 76, 129, 196, 277, 372, 481, 604, 741, 892, 1057, 1236, 1429, 1636, 1857, 2092, 2341, 2604, 2881, 3172, 3477, 3796, 4129, 4476, 4837, 5212, 5601, 6004, 6421, 6852, 7297, 7756, 8229, 8716, 9217, 9732, 10261, 10804, 11361, 11932, 12517, 13116, 13729, 14356, 14997, 15652Vielleicht könnt ihr etwas damit anfangen; ich befürchte allerdings, dass dieser Ansatz schon vollkommen falsch ist, und dass ich meine Zeit verschwendet habe.[img][Hier befand sich ein Link auf die Seite "https://i.imgur.com/LzGzyaf.png". Der Link wurde vom Benutzer mit dem Titel "https://i.imgur.com/LzGzyaf.png" versehen. Aus urheberrechtlichen Gründen ist es möglicherweise erforderlich, diesen Hinweis beizubehalten, da manche Benutzer die Quelle ihrer Zitate von anderen Internetseiten so gekennzeichnet haben. Dieser Hinweis wurde automatisch an Stelle des früheren Links platziert. Falls der Link unangemessen oder ohnehin unerreichbar geworden ist, kann die im Impressum genannte Adresse mit einer Bitte um Entfernung kontaktiert werden.][/img]Die Anzahl der möglichen Pfade, die ein Springer in x Zügen von einem festen Feld aus nehmen kann, habe ich ebenfalls versucht, durch Zählen zu ermitteln. Diese Zahlenfolge scheint mit 1, 8, 65 zu beginnen, wenn ich mich nicht verzählt habe; die schwarzen Pünktchen auf dem Bild sind die Felder, die ich für diese Rechnung doppelt zählen musste; das Feld in der Mitte habe ich achtfach gezählt... hm... wahrscheinlich war das sogar falsch.^^Viel Spaß noch damit...
Beitrag von Kampfkeks
Aufgabe 1 ist wirklich knackig und ich komme da ehrlich gesagt auch nicht weiter. Vielleicht hilft es ja weiter, wenn man sich überlegt, dass ein Springer entweder - zwei Felder horizontal + ein Feld vertikel (= A) oder- zwei Felder vertikal + ein Feld horizontal (= B) ziehen kannund man sich dann fragt, wieviele Möglichkeiten es gibt, die A´s und B´s so anzuordnen, dass nach 7 Zügen stets dasselbe Zielfeld erreicht wird. Dafür müsste man dann Bedingungen formulieren, und da hört´s bei mir dann auf... theoretisch kann der Springer ja auch im Kreis um das Ausgangsfeld herumziehen.Sofern das überhaupt der richtige Ansatz ist...Schwierig :grübel:
Beitrag von Aimbot
Ich habe leider keine schöne Lösung für Aufgabe 1 gefunden. [QUOTE=Kampfkeks;23710]Aufgabe 1 ist wirklich knackig und ich komme da ehrlich gesagt auch nicht weiter. Vielleicht hilft es ja weiter, wenn man sich überlegt, dass ein Springer entweder - zwei Felder horizontal + ein Feld vertikel (= A) oder- zwei Felder vertikal + ein Feld horizontal (= B) ziehen kannund man sich dann fragt, wieviele Möglichkeiten es gibt, die A´s und B´s so anzuordnen, dass nach 7 Zügen stets dasselbe Zielfeld erreicht wird. Dafür müsste man dann Bedingungen formulieren, und da hört´s bei mir dann auf... theoretisch kann der Springer ja auch im Kreis um das Ausgangsfeld herumziehen.Sofern das überhaupt der richtige Ansatz ist...Schwierig :grübel:[/QUOTE]Ist genau der Ansatz den ich auch gewählt habe. Die verschiedenen Zugrichtungen wie Kampfkeks sie definiert hat:A:= zwei Felder nach oben, eins nach rechtsB:= ein Feld nach oben, zwei nach rechtsC:= ein Feld nach unten, zwei nach rechtsD:= zwei Felder nach unten, eins nach rechtsdie Felder auf die der Springer nach links ziehen kann betrachte ich später, da diese einfach eine Spiegelung sind.Nun definiere ich o als ein Feld nach oben. o² wäre dementsprechend zwei Felder nach oben. Ein Feld nach unten enstpricht 1/o.Dasselbe mache ich mit r. r:= ein Feld nach rechts (analog r² zwei Felder nach rechts, 1/r ein Feld nach links).[IMG][Hier befand sich ein Link auf die Seite "https://www.schachburg.de/attachment.php?attachmentid=1608". Der Link wurde vom Benutzer mit dem Titel "https://www.schachburg.de/attachment.ph ... entid=1608" versehen. Aus urheberrechtlichen Gründen ist es möglicherweise erforderlich, diesen Hinweis beizubehalten, da manche Benutzer die Quelle ihrer Zitate von anderen Internetseiten so gekennzeichnet haben. Dieser Hinweis wurde automatisch an Stelle des früheren Links platziert. Falls der Link unangemessen oder ohnehin unerreichbar geworden ist, kann die im Impressum genannte Adresse mit einer Bitte um Entfernung kontaktiert werden.][/IMG]Die Zugmöglichkeiten auf der linken Seite kann man durch die auf der rechten Seite spiegeln. Damit hätte man fürE:=1/AF:=1/BG:=1/CH:=1/DUm auf die möglichen Felder in 7 Zügen zu kommen muss ich nun nur die verschiedenen Zugmöglichkeiten addieren und anschließend ^7 rechnen. Also:[IMG][Hier befand sich ein Link auf die Seite "https://www.schachburg.de/attachment.php?attachmentid=1609". Der Link wurde vom Benutzer mit dem Titel "https://www.schachburg.de/attachment.ph ... entid=1609" versehen. Aus urheberrechtlichen Gründen ist es möglicherweise erforderlich, diesen Hinweis beizubehalten, da manche Benutzer die Quelle ihrer Zitate von anderen Internetseiten so gekennzeichnet haben. Dieser Hinweis wurde automatisch an Stelle des früheren Links platziert. Falls der Link unangemessen oder ohnehin unerreichbar geworden ist, kann die im Impressum genannte Adresse mit einer Bitte um Entfernung kontaktiert werden.][/IMG]Diesen Term habe ich mit Maple ausmultipliziert. Ich habe nicht mehr die Zeit gefunden das ganze schöner darzustellen. Ich hoffe ihr könnt es trotzdem erkennen.[SPOILER][ATTACH=CONFIG]1610[/ATTACH][/SPOILER]Wie oben definiert steht o für ein Feld oben. Der Exponent gibt an wie oft nach oben gegangen wird. Wenn o im Nenner steht ist das Feld weiter unten vom Ausgangspunkt aus.Genauso ist es bei r. Wenn r im Nenner steht wird nach links gegangen.Der Koeffizient gibt an wie viele mögliche Wege es zu dem Feld in 7 Zügen gibt. Also bedeutet der erste Wert 4200/o[SUP]9[/SUP] z.B. dass das Feld 9 Felder weiter unten von der Startposition über 4200 Zugkombinationen erreicht werden kann.Das Feld eins rechts kann über 33.600 Zugkombinationen erreicht werden. Für das Feld zwei rechts und eins nach unten gibt es 32.725 Zugkombinationen.----@anonymIch bin mir nicht ganz sicher ob ich verstehe was du meinst. Aber du musst alle 7 Züge ausführen, damit es ein "Weg" ist. Damit ist ein Weg eindeutig. Überlege dir einfach wie viele verschiedene "Zugmöglichkeiten" es gibt in 7 Zügen auf ein bestimmtes Feld zu ziehen. Ich habe den Begriff weiter oben auch schon anstatt "Wege" benutzt, da ich mich auch nicht mit dem Begriff "Wege" anfreunden konnte.8[SUP]7[/SUP] weil es 8 Zugmöglichkeiten am Anfang gibt und 7 Züge ausgeführt werden.Ist übrigens die selbe Rechnung wie die Angabe wie viele mögliche Zugkombinationen es nach 10 Zügen gibt (wird oft damit verbunden wie komplex das Schachspiel ist und wieso es nicht von Computern gelöst werden kann). Die Anzahl liegt irgendwo bei 10[SUP]23[/SUP], also ca. 100 Trilliarden.Für das Ausgangsfeld gibt es 0 Zugmöglichkeiten. Vom Standpunkt eines Schachspielers klar, da der Springer nach 7 Zügen auf einem andersfarbigen Feld landet als er startet.
Beitrag von Kampfkeks
[QUOTE=anonym]so und für weitere überlegungen stellt sich nun eine entscheidende frage:Beispiel:Springer zieht von a1 nach b3 - wir haben einen wegSpringer zieht von a1 nach b3 und dann nach c5. haben wir nun 2 wege oder einen? Klar dagegen sollte sein dass a1 - b3 a1 wirklich nur ein weg ist.aber b3 - c5 - b3 - a1 wären dann auch drei wege. Wenn mir das mal einer klar macht, was also genau mit Weg gemeint ist würde ich mir gerne Gedanken dazu in mathematischer Hinsicht machen.[/QUOTE]Du machst es zu kompliziert. Ein Weg ist die Strecke von Startfeld zum Zielfeld. Ein Weg kann aus einem oder mehreren Zügen bestehen, egal in welcher Richtung.Beispiel: Ein Springer auf a1 soll in zwei Zügen nach d4 ziehen. Dafür gibts zwei mögliche Wege: Sa1-b3-d4 und Sa1-c2-d4.Im Schachjargon paßt "Variante" vielleicht am besten zu "Weg".Alles klar? ;)